A csoportelmélet létrejötte egy krisztallográfus
professzor, Weissenberg kristályszerkezet röntgendiffrakciós vizsgálatainak
köszönhetõ. Õ bízta meg a fiatal Wignert, hogy derítse ki, hogy
az atomok miért tartózkodnak szívesebben a kristály szimmetriasíkjában,
illetve szimmetriapontjaiban.
Ezzel a feladattal foglalkozva értette meg, hogy a négydimenziós
téridõ szimmetriái a kvantummechanikában központi szerepet foglalnak
el.
Ezzel a lépéssel és Neumann János a téma iránti ösztönzésével indult
el a csoportelmélet kibontakozásához vezetõ rögös úton, amely azóta
is nélkülözhetetlen eszköze az elméleti fizikának.
1931-ben írásos formában is megjelentette a csoportelméletrõl szóló
gondolatait a Csoportelméleti módszerek az atomszínképek kvantummechanikájában
címmel, amelyet azóta is szakmai körökben alap olvasmányként tartanak
számon.
A legenda szerint a csoportelméletet egy esõs vasárnap délután
tanulta meg iskoláskori barátjától, Neumann Jánostól, aki Göttinga
egyetemén volt tanársegéd Hilbert mellett. Egy évig Wigner Jenõ
is itt dolgozott tanársegédként (1927-1928), fél tucat tanulmányt
írtak Neumann-nal közösen csoportelméletrõl a fizikában.
Mi is a csoportelmélet?
A csoportelmélet a geometriai szimmetriákon túlmutató, a fizikai
történéseket (például elemi részecskék közötti átalakulások) leíró
törvényszerûségek általános alapjait feltáró matematikai módszer.
Az ókor kiépített egy következetes képet a világról, amely alapján
jól tájékozódunk mi, akik a Föld mozdulatlanul szilárd kérgén élünk.
Ez az euklideszi geometria, amely szerint a világ háromdimenziós
(elõre-hátra, jobbra-balra, föl-le), és amelynek alapeleme a kiterjedés
nélküli nyugvó euklideszi pont.
Wigner felismerte annak jelentõségét, hogy a végtelen dimenziós
állapottérben a történés törvényei 3+1 dimenziós téridõben ábrázolható
tíz szimmetriát mutatnak, és ezek egzaktul érvényesek! Rájuk támaszkodunk
mindennapi életünkben is, ezért lett célszerû agyunkban - érzékszerveink
támogatásával - három térdimenzió és egy idõdimenzió képét kiformálni.
Wigner még tovább lépett. A fizikát egy jobbkezes és egy balkezes
fizikus egyaránt sikeresen mûvelheti, mert a természet szimmetrikus
a háromdimenziós tér tükrözésével szemben is: egy valóságos fizikai
jelenség tükörben látott képe is lejátszódhat a Természetben. Ez
a "tükrözési szimmetria". Ebbõl egy Wigner által bevezetett
új fizikai mennyiségnek, a paritásnak a megmaradása adódik. Két
tértükrözés egymásutánja már azonosság (mintha nem csináltunk volna
semmit), ezért a paritás négyzete egység, a paritás értéke tehát
+1 vagy -1 lehet. (-1-nek is +1 a négyzete.) A paritás megmaradása
azt jelenti, hogy +1 paritású (tükörszimmetrikus) állapotból nem
lesz soha -1 paritású (tükrözéskor jelet váltó antiszimmetrikus)
állapot, és megfordítva: antiszimmetrikus (-1 paritású) állapot
nem mehet át tükörszimmetrikusba (+1 paritás). Ezzel a kvantummechanikai
gondolatmenettel Wignernek az elképzelhetõ történések (kvantumugrások)
felét sikerült kizárnia.
Wigner ezeknél a kiválasztási szabályoknál még továbbment: a végtelendimenziós
állapottér 3+1 dimenziós szimmetriáit matematikailag kiaknázta az
atomok világában történõ kvantitatív tájékozódásra. A matematika
az olyan sokaságot, amelyben két elem szorzata is elem, és elem
azok megfordítása (inverze) is, csoportnak nevezi. Ugyanígy egy
30 fokos és egy 15 fokos elforgatás egymásutánja is forgatás (45
fokkal). Két szimmetriatranszformáció egymásutánja szintén szimmetriatranszformáció.
Egy transzformáció után azt visszafelé végrehajtva (nem az óramutató
járása szerint, hanem azzal ellentétesen fordulva, nem jobbra, hanem
balra lépve) is egy transzformációt kapunk, amely az elsõ transzformáció
hatását visszacsinálja, tehát létezik inverz is. Ezért a természet
Wigner által tárgyalt szimmetriái csoportot alkotnak. Wigner a csoportelmélet
matematikai módszereit felhasználva elegánsan és pontosan kiszámított
a mikrovilágban olyan mennyiségeket, amilyeneket korábban csak veszõdségesen,
numerikus közelítésben vagy egyáltalán nem tudtak kiszámítani. Így
nemcsak az összeesõ és szétváló energiaszinteket és a kvantumátmenetek
("kvantumugrások") kiválasztási szabályait kapta meg,
hanem a színképvonalak frekvenciáit, intenzitásait, polarizációját
is számszerûen és elegánsan ki tudta számítani.
Természetesen azoknak, akik az atomok világát is háromdimenziós
euklideszi térben próbálták maguk elé képzelni, ezek a végtelendimenziós
állapottérben mûködõ kiválasztási szabályok, állapotfüggvényekre
alkalmazott csoportelméleti trükkök érthetetlenül riasztóan hatottak.
Még Wolfgang Pauli is, a Svájcban dolgozó osztrák fizikus, aki pedig
sokban hozzájárult a kvantummechanika kiegészítéséhez, irtózott
attól, amit õ csoportpestisnek nevezett el (1929). Hasonlóan kételkedett
Erwin Schrödinger, Max von Laue és Max Born is. Róluk Neumann János
ezt mondta Wignernek: "Ó, ezek csak régi elõítéletek. Öt éven
belül minden fizikushallgató az egyetemen fogja tanulni a csoportelméletet."
Így is lett. Arthur Wightman princetoni professzor a következõket
mondta: "Az utóbbi évtizedek során a szimmetriacsoportok varázslótudománya
nemcsak mindennapos rutinná vált, hanem olyan mélyen gyökeret vert
a fizikusok természetrõl alkotott képében, hogy már el sem csodálkozik
rajta senki."
Szilárd Leó bátorította Wignert, hogy mindezt írja meg egy közérthetõ
tankönyvben. Wigner Jenõ könyvét nyári vakációja során Duna-parti
nyaralójukban, Alsógödön írta, ami 1931-ben Berlinben jelent meg
Csoportelméleti módszerek az atomszínképek kvantummechanikájában
címmel. Ez az atomfizikusok kedvelt könyve, egyetemi hallgatók kedvelt
tankönyve lett, amit ma is forgatnak. Jól meg lehet belõle érteni
a csoportelmélet matematikáját, és ennek alapján jól lehet tájékozódni
az atomok három- és végtelendimenziós világában. Aki ebbe belelendül,
hirtelen otthon érezheti magát az elektronok végtelendimenziós állapotterében
is. A 21. század fiataljai már a kvantummechanika Wigner által adott
tárgyalását tanulják, abban gondolkoznak, azt érzik majd egyszerûnek.
Az azóta kibontakozó kvantumtérelmélet, a nagyenergiájú fizika már
olyan absztrakt matematikai kereteket használ, hogy a 20. század
második felében szimmetriacsoportok nélkül elképzelhetetlen lett
a tájékozódás. Wigner Jenõ 1963-ban kapta meg a fizikai Nobel-díjat
"az atommag és az elemi részecskék elméletéhez való hozzájárulásáért,
különösképpen a fundamentális szimmetriaelvek fölfedezéséért és
alkalmazásáért". Stockholmban a Nobel-díj átvételekor mondott
beszédét e szavakkal zárta:
"Ezen ünnepi alkalomból arra szeretném ráirányítani a figyelmet,
hogy mennyire tanárainknak köszönhetjük a tudomány iránt mutatott
érdeklõdésünket, magatartásunkat. Az én történetem Magyarországon
kezdõdött el a gimnáziumban, ahol matematikatanárom, Rátz László
könyveket adott olvasásra, érzéket ébresztett bennem tárgyának szépsége
iránt."
Ma az alapvetõ fizikai elméleteket már nem a konkrét fizikai kísérlet
vagy a feltaláló elméleti fizikus nevével jelzik, hanem a megfelelõ
szimmetriacsoportra utalnak: speciális és általános relativitáselmélet,
kovariáns kvantumelektrodinamika, mértékelmélet, SU(2), SU(3), SU(4),
szuperszimmetria.
|